Question

【題目】已知函數.

（1）求證：當時，函數在上，存在唯一的零點；

（2）當時，若存在，使得成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）（0，1）.

【解析】試題分析：（1）先證明函數在（0，+∞）上單調遞增，再根據零點存在定理證明上存在零點即可。（2）“若存在，使得成立”轉化為

“”，利用導數可得 ，從而由得，設g（a）=lna+a﹣1，由g（a）的單調性可得當0＜a＜1時，g（a）＜0，故所求范圍為（0，1）。

試題解析：

（1）證明：∵， ，

∴，

∵，

∴，

∴函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增，

又當a≤0時， ， ，

所以函數上存在唯一零點。

（2）由（1）得，

∵a＞0，

∴當x∈（0， ）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增；

當x∈（，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減。

∴在x=時取得最大值，且最大值為。

“存在”等價于

∴，

∴，

令g（a）=lna+a﹣1

∵g（a）在（0，+∞）單調遞增，且g（1）=0，

∴當0＜a＜1時，g（a）＜0；當a＞1時，g（a）＞0。

∴a的取值范圍為（0，1）。