Question

【題目】已知二次函數f（x）的最小值為1，且f（0）=f（2）=3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在區間[2a，a+1]上不單調，求a的取值范圍
（3）若x∈[t，t+2]，試求y=f（x）的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知，f（0）=f（2）=3，可得對稱軸為x=1，

則函數的定點坐標為（1，1），

設f（x）=a（x﹣1）2+1，a＞0，由f（0）=3，得a=2，

故f（x）=2x2﹣4x+3

（2）解：因為函數的對稱軸為1，f（x）在區間[2a，a+1]上不單調

對稱軸在區間[2a，a+1]內，即2a＜1＜a+1，

解得0＜a＜

（3）解：當t≥1時，函數f（x）在[t，t+2]上單調遞增，f（x）min=f（t）=2t2﹣4t+3．

當t＜1＜t+2時，即﹣1＜t＜1時，f（x）min=1，

當t+2≤1時，即t≤﹣1時，函數f（x）在[t，t+2]上單調遞減，f（x）min=f（t+2）=2t2+4t+5，

綜上所述y=f（x）min=g（t）=

【解析】（1）根據二次函數f（x）的最小值為1，且f（0）=f（2）可得對稱軸為x=1，可設f（x）=a（x﹣1）2+1，由f（0）=3，求出a的值即可；（2）f（x）在區間[2a，a+1]上不單調，則2a＜1＜a+1，解得即可；（3）通過討論t的范圍，得到函數的單調性，從而求出函數的最小值．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用二次函數的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減．