Question

【題目】在中，，且，若以為左右焦點的橢圓經過點.

（1）求的標準方程；

（2）設過右焦點且斜率為的動直線與相交于兩點，探究在軸上是否存在定點，使得為定值？若存在，試求出定值和點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)；(2)答案見解析.

【解析】試題分析：（1）先根據余弦定理以及三角形面積公式得，再根據橢圓定義得，最后根據，求得b,（2）先設點的坐標表示，再聯立直線方程與橢圓方程，利用韋達定理化簡，最后根據等式恒成立條件求定點以及定值.

試題解析：（1）在中，由余弦定理

.

又，∴，

代入上式得，即橢圓長軸，焦距，

所以橢圓的標準方程為.

（2）設直線方程，聯立，

得，，

設交點，，∴，.

假設軸上存在定點，使得為定值，

∴

要使為定值，則的值與無關，∴，

解得，此時為定值，定點為.