Question

已知直線y=mx與函數y=f（x）=

2-( 1 3 )x，x≤0 1 2 x2+1，x＞0

的圖象恰好有3個不同的公共點，則實數m的取值范圍是（　　）

• A．（

  3

  ，4）
• B．(

  2

  ，+∞)
• C．(

  2

  ，5)
• D．(

  3

  ，2

  2

  )

Answer 1

分析：首先根據函數的表達畫出函數的圖象，從而根據圖象判斷函數與直線的公共點的情況，最后結合兩曲線相切與圖象恰有三個不同的公共點的關系即可求得實數a的取值范圍．

解答：解：畫出函數圖象如圖所示，
由圖可知，當直線y=mx（m∈R）與函數的圖象相切時，設切點A（x0，

1

2

x0），則f′（x）=x，
∴k=m=x₀，即直線y=mx過切點A（x0，

1

2

x0）時，有唯一解．∴m=

2

，
結合圖象得，當直線y=mx與函數y=f（x）的圖象恰好有3個不同的公共點時，
則實數m的取值范圍是m＞

2

，
故選B．

點評：本題主要考查函數的圖象的交點以及數形結合方法，同時考查了導數的幾何意義，利用導數求切線的方程．解本題的關鍵是尋找“臨界狀態”，即直線與圖象相切的時候．數形結合是數學解題中常用的思想方法，本題由于使用了數形結合的方法，使得問題便迎刃而解，且解法簡捷．