Question

（2012•閘北區一模）關于x的不等式log

1

2

[a2x+2(ab)x-b2x+1]＜0（a＞b＞0）的解集為

(log

a

b

(

2

-1)，+∞)

．

Answer 1

分析：要使log

1

2

[a2x+2(ab)x-b2x+1]＜0，必須a^2x+2（ab）^x-b^2x+1＞1，即a^2x+2（ab）^x-b^2x＞0．推導出（

a

b

）^x＞

2

-1或（

a

b

）^x＜-

2

-1（舍去）后，再由a＞b＞0，從而求出原不等式的解集．

解答：解：要使log

1

2

[a2x+2(ab)x-b2x+1]＜0，必須a^2x+2（ab）^x-b^2x+1＞1，即a^2x+2（ab）^x-b^2x＞0
∵b^2x＞0
∴（

a

b

）^2x+2（

a

b

）^x-1＞0
∴（

a

b

）^x＞

2

-1或（

a

b

）^x＜-

2

-1（舍去）
∵a、b∈R⁺，∴

a

b

＞0．
當a＞b＞0時有

a

b

＞1時，即a＞b＞0時，x＞log

a

b

（

2

-1）．
故解集為：x＞log

a

b

（

2

-1）．
故答案為：(log

a

b

(

2

-1)，+∞)．

點評：本題是對數函數的單調性與特殊點，解題要根據對數函數的性質進行合理轉化，考查轉化思想．