Question

已知圓錐的底面半徑r=2，半徑OM與母線SA垂直，N是SA中點(diǎn)，NM與高SO所成的角為α，且tanα=2
（1）求圓錐的體積；
（2）求M，N兩點(diǎn)在圓錐側(cè)面上的最短距離．

Answer 1

分析：（1）設(shè)OA中點(diǎn)C，連接NC、CM，利用直線與平面所成角的定義得∠MNC即為NM與高SO所成的角α再結(jié)合條件解三角形得出高長(zhǎng)，最后利用錐體體積公式求得圓錐的體積；
（2）最短距離的問(wèn)題首先應(yīng)轉(zhuǎn)化為圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)間的距離的問(wèn)題．需先算出圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的扇形半徑．看如何構(gòu)成一個(gè)三角形，然后根據(jù)余弦定理進(jìn)行計(jì)算．

解答：解：（1）設(shè)OA中點(diǎn)C，連接NC、CM，則NC∥SO，
故∠MNC即為NM與高SO所成的角α，（2分）
又NC⊥MC且tanα=2所以MC=2NC=SO，（4分）
又MC=

OM2+OC2

=

22+12

=

5

，即SO=

5

，（5分）
從而圓錐的體積V=

1

3

Sh=

1

3

π•22•

5

=

4 5 π

3

（7分）
（2）作圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，線段MN即為所求最短距離．（8分）
由已知OM⊥SO，OM⊥SA⇒OM⊥OA，
故M是弧AB的中點(diǎn)，即M是扇形弧的

1

4

點(diǎn)．（10分）
因?yàn)樯刃位￠L(zhǎng)即為圓錐底面周長(zhǎng)4π，
由（1）知SO=

5

，OA=2，所以母線SA=3，
從而扇形的中心角為

4π

3

，所以∠MSA=

π

3

（12分）
在三角形MSA中SN=

3

2

，SM=3，∠NSM=

π

3

，由余弦定理得MN=

3 3

2

（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了求圓錐的體積、多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問(wèn)題，主要根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征、直角三角形、題中的條件，求出錐體的母線長(zhǎng)和高，進(jìn)而求出對(duì)應(yīng)的值，考查了分析和解決問(wèn)題的能力．本題需注意最短距離的問(wèn)題最后都要轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)間的距離的問(wèn)題．