Question

已知圓錐的底面半徑r=2，半徑OM與母線SA垂直，N是SA中點，NM與高SO所成的角為α，且tanα=2
（1）證明ON⊥OM；（2）求圓錐的體積．

Answer 1

分析：（1）先根據線面垂直的判定定理證明OM⊥平面SOA，然后根據線面垂直的判定定理可得ON⊥OM；
（2）設OA中點C，連接NC、CM，則NC∥SO，則∠MNC即為NM與高SO所成的角α，根據tanα=2可求出MC=2NC=SO，從而求出高SO，最后根據圓錐的體積公式解之即可．

解答：（1）證明：半徑OM與母線SA垂直，則SA⊥OM
∵SO⊥OM，SA⊥OM，SO∩SA=S
∴OM⊥平面SOA
而ON?平面SOA
∴ON⊥OM（6分）
（2）解：設OA中點C，連接NC、CM，則NC∥SO，
故∠MNC即為NM與高SO所成的角α，（8分）
又NC⊥MC且tanα=2所以MC=2NC=SO，（10分）
又MC=

OM2+OC2

=

22+12

=

5

，即SO=

5

，（12分）
從而圓錐的體積V=

1

3

Sh=

1

3

π•22•

5

=

4 5 π

3

（14分）

點評：本題主要考查了線面垂直的判定定理和性質定理，同時考查了圓錐的體積公式，屬于中檔題．