Question

已知橢圓經過點P（2，1），離心率，直線l與橢圓C交于A，B兩點  （A，B均異于點P），且有．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求證：直線l過定點．

Answer 1

解：（1）由題意得橢圓經過點P（2，1）
所以，
又因為，a²=b²+c²，
∴a²=8，b²=2，c²=6．故方程為．
（2）證明：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
當直線l的斜率存在時設直線l的方程為：y=kx+m
直線l與橢圓C的方程聯立，消去y得，（1+4k²）x²+8kmx+4m²-8=0．
則．
=（x₁-2）（x₂-2）+（y₁-1）（y₂-1）=（x₁-2）（x₂-2）+（kx₁+m-1）（kx₂+m-1）
=（1+k²）x₁x₂+
=
∴（6k+5m+3）（2k+m-1）=0．
若6k+5m+3=0，則l：，∴直線l過定點．
若2k+m-1=0，則l：y=kx-2k+1=k（x-2）+1，∴直線l過定點（2，1），即為P點（舍去）．
當斜率k不存在，易知，符合題意．
綜上，直線l過定點
分析：（1）由題意得橢圓經過點P（2，1）所以可得a與b的一個關系式，結合，a²=b²+c²，可解出a，b，c．
（2）證明：設出A，B兩個點的坐標，再分斜率存在與不存在兩種情況設出直線l方程．
當斜率存在時：y=kx+m，直線l與橢圓C的方程聯立，消去y得，（1+4k²）x²+8kmx+4m²-8=0．結合根與系數的關系表示出=
所以（6k+5m+3）（2k+m-1）=0．可解出答案．當斜率k不存在，易知，符合題意．
點評：解決此類問題的關鍵是準確的運算，抓住向量的數量積等于0結合根與系數的關系準確的化簡得出結果，本題出錯的關鍵是不能準確的進行代數運算，正確的代數運算也是高考成功的條件之一．