Question

在“環境保護低碳生活知識競賽”第一環節測試中，設有A、B、C三道必答題，分值依次為20分、30分、50分．競賽規定：若參賽選手連續兩道題答題錯誤，則必答題總分記為零分；否則各題得分之和記為必答題總分．已知某選手回答A、B、C三道題正確的概率分別為

1

2

、

1

3

、

1

4

，且回答各題時相互之間沒有影響．（Ⅰ）若此選手可以自由選擇答題順序，求其必答題總分為50分的概率；（Ⅱ）若此選手按A、B、C的順序答題，求其必答題總分ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）記總分得50分為事件D，記A，B答對，C答錯為事件D₁，記A，B答錯，C答對為事件D₂，則D=D₁+D₂，且D₁，D₂互斥，由概率公式計算可得；（Ⅱ）ξ可能的取值是100，80，70，50，30，0．ξ=100表示A，B，C三題均答對，分別求其概率列表可得分布列，進而可得數學期望．

解答：解：（Ⅰ）記總分得50分為事件D，記A，B答對，C答錯為事件D₁，
記A，B答錯，C答對為事件D₂，則D=D₁+D₂，且D₁，D₂互斥
又P(D1)=

1

2

×

1

3

×(1-

1

4

)=

1

8

，P(D2)=

1

2

×(1-

1

3

)×

1

4

×

A 2 2

A 3 3

=

1

36

．
所以P(D)=P(D1+D2)=P(D1)+P(D2)=

1

8

+

1

36

=

11

72

．
所以此選手可自由選擇答題順序，必答題總分為50分的概率為

11

72

．
（Ⅱ）ξ可能的取值是100，80，70，50，30，0．ξ=100表示A，B，C三題均答對，
則P(ξ=100)=

1

2

×

1

3

×

1

4

=

1

24

，同理，P(ξ=80)=(1-

1

2

)×

1

3

×

1

4

=

1

24

，
P(ξ=70)=

1

2

×(1-

1

3

)×

1

4

=

1

12

，P(ξ=50)=

1

2

×

1

3

×(1-

1

4

)=

1

8

，
P(ξ=30)=(1-

1

2

)×

1

3

×(1-

1

4

)=

1

8

，P(ξ=0)=

1

2

×(1-

1

3

)×(1-

1

4

)+(1-

1

2

)×(1-

1

3

)=

7

12

，
所以，ξ的分布列為

ξ	100	80	70	50	30	0
P	1 24	1 24	1 12	1 8	1 8	7 12

所以ξ的數學期望Eξ=100×

1

24

+80×

1

24

+70×

1

12

+50×

1

8

+30×

1

8

=

70

3

點評：本題考查離散型隨機變量及其分布列，涉及數學期望的求解，屬中檔題．