Question

【題目】已知函數f（x）是R上的奇函數．

（1）求a，b的值；

（2）判斷并證明f（x）的單調性；

（3）若對任意實數x，不等式f[f（x）﹣m]0恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）a＝1，b＝1，（2）單調遞增，見解析（3）（﹣∞，2]．

【解析】

（1）由奇函數的定義求解，求得，再由求得，再驗證此時

符合題意．

（2）由單調性定義證明；

（3）先計算出函數值，因此由單調性得f（x）﹣m＞﹣3，即m＜f（x）+3＝4，于是求出4的最小值或取值范圍即可．

（1）∵f（x）是R上的奇函數，

∴f（0）＝0，即，

所以，a＝1，

又f（﹣1）+f（1）＝0，

所以，

∴b＝1，此時是奇函數；

（2）由（1）可得f（x）1，

設x1x2，則．

則f（x1）﹣f（x2）0，

∴f（x1）f（x2），

故f（x）在R上單調遞增，

（3）對任意實數x，不等式f[f（x）﹣m]0恒成立，

∴不等式f[f（x）﹣m]恒成立，且f（﹣3），

由（2）可知f（x）在R上單調遞增，

∴f（x）﹣m﹣3，即mf（x）+3＝4，

結合指數函數的性質可知，，

∴2<44，

∴m≤2，

故m的范圍（﹣∞，2]．