Question

在平面直角坐標系xOy中，點P（x，y）為動點，已知點A（

2

，0），B（-

2

，0），直線PA與PB的斜率之積為定值-

1

2

．
（Ⅰ）求動點P的軌跡E的方程；
（Ⅱ）若F（1，0），過點F的直線l交軌跡E于M、N兩點，以MN為對角線的正方形的第三個頂點恰在y軸上，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）用坐標表示直線PA與PB的斜率因為直線PA與PB的斜率之積為定值-

1

2

，可得

y

x- 2

•

y

x+ 2

=-

1

2

即軌跡方程為

x2

2

+y2=1(y≠0)．
（Ⅱ）討論斜率為0與斜率不存在時不合題意，設直線方程為y=k（x-1），利用根與系數的關系表示MN的中點Q(

2k2

2k2+1

，-

k

2k2+1

)，則線段MN的中垂線m的方程為
m：y=-

x

k

+

k

2k2+1

則直線m與y軸的交點R(0，

k

2k2+1

)又

RM

•

RN

=0可解得k=±1，即直線l的方程為y=±（x-1）．

解答：解：（Ⅰ）由題意

y

x- 2

•

y

x+ 2

=-

1

2

，
整理得

x2

2

+y2=1，所以所求軌跡E的方程為

x2

2

+y2=1(y≠0)，
（Ⅱ）當直線l與x軸重合時，與軌跡E無交點，不合題意；
當直線l與x軸垂直時，l：x=1，此時M(1，

2

2

)，N(1，-

2

2

)，以MN為對角線的正方形的另外兩個頂點坐標為(1±

2

2

，0)，不合題意；
當直線l與x軸既不重合，也不垂直時，不妨設直線l：y=k（x-1）（k≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點Q(

x1+x2

2

，k(

x1+x2

2

-1))，
由

y=k(x-1) x2 2 +y2=1

消y得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，
由

x1= 4k2+ △ 2(2k2+1) x2= 4k2- △ 2(2k2+1)

得

x1+x2= 4k2 2k2+1 x1•x2= 2k2-2 2k2+1

所以Q(

2k2

2k2+1

，-

k

2k2+1

)，
則線段MN的中垂線m的方程為：y+

k

2k2+1

=-

1

k

(x-

2k2

2k2+1

)，
整理得直線m：y=-

x

k

+

k

2k2+1

，
則直線m與y軸的交點R(0，

k

2k2+1

)，
注意到以MN為對角線的正方形的第三個頂點恰在y軸上，
當且僅當RM⊥RN，
即

RM

•

RN

=(x1，y1-

k

2k2+1

)•(x2，y2-

k

2k2+1

)=0，
x1x2+y1y2-

k

2k2+1

(y1+y2)+

k2

(2k2+1)2

=0，①
由

y1y2=k2[x1x2-(x1+x2)+1]=- k2 2k2+1 y1+y2=k(x1+x2-2)=- 2k 2k2+1

②
將②代入①解得k=±1，即直線l的方程為y=±（x-1），
綜上，所求直線l的方程為x-y-1=0或x+y-1=0．

點評：有關三角形的問題是高考的一個重點，多與三角形的周長，面積，形狀等問題相關，解決此類問題關鍵是抓住曲線與三角形的特性靈活找出問題的所在．