Question

16．已知p：函數f（x）=（x-a）²在（-∞，1）上是減函數，$q：?x＞0，a≤\frac{{{x^2}+1}}{x}$恒成立，則?p是q的（　　）

• A． 充分不必要條件
• B． 必要不充分條件
• C． 充要條件
• D． 既不充分也不必要條件

Answer 1

分析 根據函數的性質求出a的取值范圍，結合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．

解答 解：若函數f（x）=（x-a）²在（-∞，1）上是減函數，則對稱軸a≥1，即p：a≥1，￢p：a＜1
當x＞0時，$\frac{{x}^{2}+1}{x}$=x+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$=2，當且僅當x=$\frac{1}{x}$，即x=1時，取等號，
則$q：?x＞0，a≤\frac{{{x^2}+1}}{x}$恒成立，則a≤2，即q：a≤2，
則?p是q的充分不必要條件，
故選：A

點評 本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據函數的性質求出命題p，q的等價條件是解決本題的關鍵．