Question

（本題滿分13分）已知函數的圖象在點處的切線的斜率為2.

（Ⅰ）求實數的值;

（Ⅱ）設,討論的單調性;

（Ⅲ）已知且,證明:.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）在區間和都是單調遞增的；（Ⅲ）證明詳見解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）函數的圖象在點處的切線的斜率即為函數在處的斜率，由此得，解之即得得；（Ⅱ），所以設利用導數可得，從而，所以在區間和都單調遞增；（Ⅲ）因為，由（Ⅱ）知成立，即，對照結論變形即可.

試題解析：（Ⅰ）所以 1分

由題意,得 3分

（Ⅱ），所以 4分

設

當時，，是增函數，，

所以，故在上為增函數； 5分

當時，，是減函數，，

所以，故在上為增函數；

所以在區間和都是單調遞增的。 8分

（Ⅲ）因為，由（Ⅱ）知成立，即， 9分

從而，即 12分

所以. 13分

考點：1、導數的應用；不等式的證明.