Question

設函數f（x）=

1-x

ax

+lnx在[1，+∞）上為增函數．
（1）求正實數a的取值范圍；
（2）若a=1，求證：

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

＜lnn＜n+

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n-1

（n∈N*且n≥2）．

Answer 1

分析：（1）由已知可得f'（x）=

ax-1

ax2

≥0對x∈[1，+∞）恒成立，即ax-1≥0對x∈[1，+∞）恒成立，可得a-1≥0，從而
求得正實數a的取值范圍．
（2）根據n≥2時：f（

n

n-1

）＞f（1）=0，可得

1

n

＜ln

n

n-1

，從而得到

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

＜lnn；設g（x）=
lnx-x，x∈[1，+∞），則g′(x)=

1

x

-1≤0對x∈[1，+∞）恒成立，故 n≥2時，由g（

n

n-1

）＜g（1）=-1＜0，得
ln

n

n-1

＜1+

1

n-1

，由此利用放縮法證得lnn＜n+

1

2

+

1

3

+…+

1

n-1

，從而證得不等式成立．

解答：解：（1）由已知：f'（x）=

ax-1

ax2

(a＞0)．
依題意得：

ax-1

ax2

≥0對x∈[1，+∞）恒成立．
∴ax-1≥0對x∈[1，+∞）恒成立，∴a-1≥0，即：a≥1．
故正實數a的取值范圍為[1，+∞）．
（2）∵a=1，∴由（1）知：f（x）=

1-x

x

+lnx在[1，+∞）上為增函數，
∴n≥2時：f（

n

n-1

）=

1- n n-1

n n-1

+ln

n

n-1

=ln

n

n-1

-

1

n

＞f(1)=0，
即：

1

n

＜ln

n

n-1

…． （9分）
∴

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

＜ln

2

1

+ln

3

2

+…+ln

n

n-1

=1nn．
設g（x）=lnx-x，x∈[1，+∞），則g′(x)=

1

x

-1≤0對x∈[1，+∞）恒成立，
∴g′（x）在[1+∞）為減函數．
∴n≥2時：g（

n

n-1

）=ln

n

n-1

-

n

n-1

＜g（1）=-1＜0，
 即：ln

n

n-1

＜

n

n-1

=1+

1

n-1

 （n≥2）．
∴lnn=ln

2

1

+ln

3

2

+ln

4

3

+…+ln

n

n-1

＜(1+

1

n-1

)+(1+

1

n-2

)+…+(1+

1

1

)=n+

1

2

+

1

3

+…+

1

n-1

，
綜上所證：

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＜lnn＜n+

1

2

+

1

3

+…+

1

n-1

（n∈N*且≥2）成立．

點評：本題主要考查利用導數研究函數的單調性，用放縮法證明不等式，將式子進行恰當的放縮，是解題的難點．