Question

由下列條件解△ABC，其中有兩解的是（　　）

A．b=20，A=45°，C=80°

B．a(chǎn)=30，c=28，B=60°

C．a(chǎn)=12，c=15，A=120°

D．a(chǎn)=14，c=16，A=45°

Answer 1

分析：A、由A和C的度數(shù)，利用三角形的內(nèi)角和定理求出B的度數(shù)，由sinA，sinC及sinB，還有b的值，利用正弦定理求出a與c的值，得到此三角形只有一解，本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、由a，c及cosB的值，利用余弦定理求出b的值，得到此三角形只有一解，本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、由a小于c，得到A小于C，由A為鈍角，得到C也為鈍角，不能構(gòu)成三角形，故此三角形無解；
D、由a，c及sinA的值，利用正弦定理求出sinC的值，且得到sinC的值大于

2

2

，同時(shí)由a小于c得到C小于45°，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得到C的度數(shù)有兩解，故此三角形有兩解，本選項(xiàng)正確．

解答：解：A、由A=45°，C=80°，得到B=55°，
根據(jù)正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

得：
a=

bsinA

sinB

=

10 2

sin55°

，c=

20sin80°

sin55°

，
則此時(shí)三角形只有一解，本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、由a=30，c=28，B=60°，
根據(jù)余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB=844，
解得b=2

211

，即此三角形只有一解，
本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、由a=12，c=15，得到a＜c，
有A＜C，而A=120°，得到C也為鈍角，
則此三角形無解，本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、由a=14，c=16，A=45°，
根據(jù)正弦定理

a

sinA

=

c

sinC

得：
sinC=

16× 2 2

14

=

4 2

7

＞

2

2

，
又c＞a，得到C＞45°，
根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得到C有兩解，本選項(xiàng)正確，
故選D

點(diǎn)評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有：正弦、余弦定理，三角形的邊角關(guān)系，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握正弦、余弦定理是解本題的關(guān)鍵．