Question

如圖，直線AB過圓心O，交圓O于A、B，直線AF交圓O于F（不與B重合），直線L與圓O相切于C，交AB于E，且與AF垂直，垂足為G，連接AC．求證：
（Ⅰ）∠BAC=CAG；
（Ⅱ）AC²=AE•AF．

Answer 1

分析：（I）由圓周角定理的推論2，我們易判斷∠BCA為直角，結合弦切角定理，及直線L與圓O相切于C，交AB于E，且與AF垂直，我們易結合等角的余角相等得到答案．
（II）由弦切角定理得∠ACE=∠AFC，結合（I）的結論，可得到△ACF∽△AEC，由三角形相似的性質，即可得到答案．

解答：證明：（Ⅰ）連接BC，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠AGC=90°．（2分）
∵GC切圓O于C，
∴∠GCA=∠ABC．（4分）
∴∠BAC=∠CAG．（5分）
（Ⅱ）連接CF，∵EC切圓O于C，∴∠ACE=∠AFC．（6分）
又∠BAC=∠CAG，∴△ACF∽△AEC．（8分）
∴

AC

AE

=

AF

AC

，∴AC²=AE•AF（10分）

點評：本題考查的知識點是圓的切線的性質，弦切角定理，圓周角定理，其中分析角與角之間的關系時，與圓相關的要首先考慮圓周角定理，有切線的必要考慮弦切角．