Question

（滿分12分）設函數．

（Ⅰ）求函數的單調遞增區間；

（II）若關于的方程在區間內恰有兩個相異的實根，求實數的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）函數的單調遞增區間為．（2）．

【解析】

試題分析：（1）函數的定義域為，

∵，  

∵，則使的的取值范圍為，

故函數的單調遞增區間為．  

（2）方法1：∵，

∴．

令，              

∵，且，

由．

∴在區間內單調遞減，在區間內單調遞增，

故在區間內恰有兩個相異實根    

即解得：．

綜上所述，的取值范圍是 

方法2：∵，

∴．

即，

令， ∵，且，

由．

∴在區間內單調遞增，在區間內單調遞減．

∵，，，

又，

故在區間內恰有兩個相異實根．

即．

綜上所述，的取值范圍是．

考點：本題主要考查導數的應用，利用導數研究函數的單調性、最值，方程解的討論，不等式組的解法。

點評：中檔題，導數的應用是高考必考內容，思路往往比較明確根據導數值的正負，確定函數的單調性。對于方程解的討論，本解法提供了“數形結合法”和“導數法”兩種方法，都說明要充分研究函數的圖象特征，利用函數的圖象特征解題。本題涉及到了對數函數，應特別注意函數的定義域。