Question

已知圓O：x²+y²=1，直線l:y=(x+4).

（1）設圓O與x軸的兩交點是F₁,F₂，若從F₁發出的光線經l上的點M反射后過點F₂，求以F₁,F₂為焦點且經過點M的橢圓方程.

（2）點P是x軸負半軸上一點，從點P發出的光線經l反射后與圓O相切.若光線從射出經反射到相切經過的路程最短，求點P的坐標.

Answer 1

解:(1)如圖，由光學幾何知識可知，點F₁關于l的對稱點F₁′在過點A(-4,0)且傾斜角為60°的直線l′上.在△AF₂F₁′中，橢圓長軸長2a=MF₁+MF₂=F₁′F₂=，

又橢圓的半焦距c=1，∴b²=a²-c²=.

∴所求橢圓的方程為=1.

(2)路程最短即為l′上的點P′到圓O的切線長最短，由幾何知識可知，P′應為過原點O且與l垂直的直線與l′的交點，這一點又與點P關于l對稱，∴AP=AP′=2.故點P的坐標為(-2,0).