Question

已知二次函數f（x）滿足f（1+x）=f（1-x），且f（0）=0，f（1）=1，若f（x）在區間[m，n]上的值域是[m，n]，則m=

 

，n=

 

．

Answer 1

分析：二次函數f（x）可以利用待定系數法求出函數解析式，注意到函數自身的最大值是1，能發現f（x）在區間[m，n]上單調遞增，根據單調性建立等量關系．

解答：解：由f（1+x）=f（1-x）可知二次函數函數f（x）的對稱軸為x=1，
又因f（0）=0，f（1）=1則f（x）=-（x-1）²+1≤1，
∴n≤1
∴f（x）在區間[m，n]上單調遞增即

f(m)=m f(n)=n

，

-m2+2m=m -n2+2n=n

，
而m＜n，所以m=0，n=1；
故答案為0，1．

點評：本題考查了函數解析式的求解，以及利用單調性求解函數的值域