Question

數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=2，a_n+1=2S_n+1（n∈N^*），則數列{a_n}的通項公式為

an=

2，n=1 5•3n-2，n≥2

．

Answer 1

分析：由a_n+1=2S_n+1①，得a_n=2S_n-1+1②，（n≥2），兩式相減可得數列遞推式，由遞推式可判斷該數列從第二項起構成等比數列，由此可得其通項公式．

解答：解：由a_n+1=2S_n+1①，得a_n=2S_n-1+1②，（n≥2），
①-②，得a_n+1-a_n=2a_n，（n≥2），即a_n+1=3a_n（n≥2），
又a₂=2S₁+1=5，a₁=2，所以a₂，a₃，a₄，…，成等比數列，公比為3，
所以n≥2時，an=a2•3n-2=5，又a₁=2，
所以an=

2，n=1 5•3n-2，n≥2

，
故答案為：an=

2，n=1 5•3n-2，n≥2

．

點評：本題考查由數列遞推式求數列通項，屬中檔題，解決該題的關鍵是利用S_n與a_n的關系an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，消掉等式中的S_n．