Question

已知圓O的半徑為R，圓內一定點M且，一直線過點M且與該圓交于A，B 兩點，則△OAB面積的最大值為    ．

Answer 1

【答案】分析：以OM為y軸，建立直角坐標系，過點O作OD⊥AB，交AB于D，設直線AB的方程為y=kx+，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則△OAB面積S=OM×|x₁-x₂|=×|x₁-x₂|然后聯立直線與圓的方程，求出|x₁-x₂|的最大值即可求出所求．
解答：解：以OM為y軸，建立直角坐標系M（0，）
過點O作OD⊥AB，交AB于D
設直線AB的方程為y=kx+，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則△OAB面積S=OM×|x₁-x₂|=×|x₁-x₂|
則
∴（1+k²）x²+kRx-=0
|x₁-x₂|²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂==-
∴當k=0時|x₁-x₂|取最大值即S=
故答案為：
點評：本題主要考查了直線與圓的位置關系，以及函數的最值及其幾何意義，同時考查了利用解析法求最值，屬于中檔題．