Question

已知動點P在直線x+2y-2=0上，動點Q在直線x+2y+4=0上，線段PQ中點M（x₀，y₀）滿足不等式

y0≤ x0 3 +2 y0≤-x0+2

，則x₀²+y₀²的取值范圍是（　　）

• A．[

  5

  5

  ，

  34

  ]
• B．[

  1

  5

  ，34]
• C．[

  1

  5

  ，10]
• D．[10，34]

Answer 1

分析：首先由直線x+2y-2=0與直線x+2y+4=0是平行線，得出PQ的中點M（x₀，y₀）滿足的直線方程；再根據

y0≤ x0 3 +2 y0≤-x0+2

對應的平面區域進一步限定M的范圍；最后結合x₀²+y₀²的幾何意義求出其范圍．

解答：解：根據題意作圖如下
因為PQ中點為M，則點M的坐標滿足方程x+2y+1=0，
又

y0≤ x0 3 +2 y0≤-x0+2

，則點M在線段AB上，
且由 得 A（-3，1），B（5，-3）
則x₀²+y₀²的可視為點M與原點O的距離的平方，
其距離最小為原點到直線x+2y+1=0的距離，最大為OB．
則x₀²+y₀²的取值范圍是[

1

5

，34]．
故選B．

點評：此題為一道中檔題，要求學生會利用解析法求出中點坐標，會根據條件列出不等式求解集．學生做題時注意靈活x₀²+y₀²的幾何意義求出其范圍．