Question

函數f（x）=2asin（2x-

π

3

）+b（a＞0）定義域[0，

π

2

]，函數的最大值為1，最小值為-5，
（1）求a和b；
（2）求f（x）的單調區間；
（3）求f（x）的對稱軸．

Answer 1

分析：（1）根據x∈[0，

π

2

]可得2x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，從而得到x=0時sin(2x-

π

3

)有最小值且當x=

5π

12

時sin(2x-

π

3

)有最大值，由此對立關于a、b的方程組，解之即可得到實數a和b的值；
（2）根據正弦函數的單調區間公式，解關于x的不等式-

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），可得f（x）的單調增區間為[-

π

12

+kπ，

5π

12

+kπ]（k∈Z），同理可得f（x）的單調減區間．
（3）根據正弦曲線的對稱軸方程公式，解2x-

π

3

=

π

2

+kπ（k∈Z）得x=

5π

12

+

1

2

kπ（k∈Z），即得函數f（x）圖象的對稱軸方程．

解答：解：（1）∵定義域x∈[0，

π

2

]，可得2x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]
∴可得當x=0時，sin(2x-

π

3

)=-

3

2

達到最小值；當x=

5π

12

時，sin(2x-

π

3

)=1達到最大值
結合a＞0，可得{

2a+b=1 - 3 a+b=-5

，解得a=12-6

3

，b=-23+12

3

；
（2）由（1）得f（x）=（24-12

3

）sin（2x-

π

3

）-23+12

3

令-

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），可得-

π

12

+kπ≤x≤

5π

12

+kπ（k∈Z），
∴f（x）的單調增區間為[-

π

12

+kπ，

5π

12

+kπ]（k∈Z），
同理可得f（x）的單調減區間為[

5π

12

+kπ，

11π

12

+kπ]（k∈Z），
（3）令2x-

π

3

=

π

2

+kπ（k∈Z），可得x=

5π

12

+

1

2

kπ（k∈Z），
∴函數f（x）圖象的對稱軸方程為x=

5π

12

+

1

2

kπ（k∈Z）．

點評：本題給出正弦曲線型三角函數，求函數的單調區間與圖象的對稱軸．著重考查了三角函數圖象的對稱軸與單調區間求法等知識，屬于中檔題．