Question

已知函數(shù)f（x）=2asinωxcosωx+2

3

cos²ωx-

3

（a＞0，ω＞0）d的最大值為2，x₁，x₂是集合M={x∈R|f（x）=0}中的任意兩個(gè)元素，且|x₁-x₂|的最小值為

π

2

．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式及其對(duì)稱軸；
（2）若f（a）=

4

3

，求sin（4a+

π

6

）的值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，結(jié)合x(chóng)₁，x₂是集合M={x∈R|f（x）=0}中的任意兩個(gè)元素，且|x₁-x₂|的最小值為

π

2

，可知f（x）的周期為π，從而可求ω的值，根據(jù)最大值為2，可求a的值，從而可得函數(shù)的解析式，即可求出函數(shù)的對(duì)稱軸；
（2）先求出sin（2a+

π

3

），再利用二倍角公式，即可求得sin（4a+

π

6

）的值．

解答：解：（1）f（x）=2asinωxcosωx+2

3

cos²ωx-

3

=asinωx+

3

cos2ωx，
由題意，x₁，x₂是集合M={x∈R|f（x）=0}中的任意兩個(gè)元素，且|x₁-x₂|的最小值為

π

2

，
∴f（x）的周期為π，
∴

2π

2ω

=π，∴ω=1…（2分）
∵f（x）最大值為2，
∴

a2+3

=2，
∵a＞0，∴a=1…（4分）
∴f（x）=2sin（2x+

π

3

）…（5分）
令2x+

π

3

=

π

2

+kπ，解得f（x）的對(duì)稱軸為x=

π

12

+

kπ

2

（k∈Z）------------（7分）
（2）由f（a）=

4

3

知2sin（2a+

π

3

）=

4

3

，即sin（2a+

π

3

）=

2

3

，…（8分）
∴sin（4a+

π

6

）=sin[2（2a+

π

3

）-

π

2

]=-cos[2（2a+

π

3

）]=-1+2sin2²（2a+

π

3

）=-1+2×(

2

3

)2=-

1

9

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查二倍角公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．