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已知函數(shù)f(x)=2asinωxcosωx+2
3
cos2ωx-
3
(a>0,ω>0)d的最大值為2,x1,x2是集合M={x∈R|f(x)=0}中的任意兩個(gè)元素,且|x1-x2|的最小值為
π
2

(1)求函數(shù)f(x)的解析式及其對(duì)稱軸;
(2)若f(a)=
4
3
,求sin(4a+
π
6
)的值.
分析:(1)利用二倍角公式化簡(jiǎn)函數(shù),結(jié)合x(chóng)1,x2是集合M={x∈R|f(x)=0}中的任意兩個(gè)元素,且|x1-x2|的最小值為
π
2
,可知f(x)的周期為π,從而可求ω的值,根據(jù)最大值為2,可求a的值,從而可得函數(shù)的解析式,即可求出函數(shù)的對(duì)稱軸;
(2)先求出sin(2a+
π
3
),再利用二倍角公式,即可求得sin(4a+
π
6
)的值.
解答:解:(1)f(x)=2asinωxcosωx+2
3
cos2ωx-
3
=asinωx+
3
cos2ωx,
由題意,x1,x2是集合M={x∈R|f(x)=0}中的任意兩個(gè)元素,且|x1-x2|的最小值為
π
2
,
∴f(x)的周期為π,
,∴ω=1…(2分)
∵f(x)最大值為2,
a2+3
=2
,
∵a>0,∴a=1…(4分)
∴f(x)=2sin(2x+
π
3
)…(5分)
令2x+
π
3
=
π
2
+kπ
,解得f(x)的對(duì)稱軸為x=
π
12
+
2
(k∈Z)------------(7分)
(2)由f(a)=
4
3
知2sin(2a+
π
3
)=
4
3
,即sin(2a+
π
3
)=
2
3
,…(8分)
∴sin(4a+
π
6
)=sin[2(2a+
π
3
)-
π
2
]=-cos[2(2a+
π
3
)]=-1+2sin22(2a+
π
3
)=-1+2×(
2
3
)2
=-
1
9
…(12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn),考查三角函數(shù)的性質(zhì),考查二倍角公式,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=2-
1
x
,(x>0),若存在實(shí)數(shù)a,b(a<b),使y=f(x)的定義域?yàn)椋╝,b)時(shí),值域?yàn)椋╩a,mb),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=2+log0.5x(x>1),則f(x)的反函數(shù)是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=2(m-1)x2-4mx+2m-1
(1)m為何值時(shí),函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn);
(2)如果函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在原點(diǎn),求m的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•上海)已知函數(shù)f(x)=2-|x|,無(wú)窮數(shù)列{an}滿足an+1=f(an),n∈N*
(1)若a1=0,求a2,a3,a4
(2)若a1>0,且a1,a2,a3成等比數(shù)列,求a1的值
(3)是否存在a1,使得a1,a2,…,an,…成等差數(shù)列?若存在,求出所有這樣的a1,若不存在,說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

選修4-5:不等式選講
已知函數(shù)f(x)=2|x-2|-x+5,若函數(shù)f(x)的最小值為m
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)m的值;
(Ⅱ)若不等式|x-a|+|x+2|≥m恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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同步練習(xí)冊(cè)答案
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