Question

過點P（1，4）引一條直線l，使它在兩條坐標軸上的截距都是正數且它們的和最小，求直線l的方程．

Answer 1

分析：設直線方程為

x

a

+

y

b

=1（a＞0，b＞0），得

1

a

+

4

b

=1，進而得到l在兩條坐標軸上的截距的和a+b=（a+b）（

1

a

+

4

b

）=5+

b

a

+

4a

b

，最后利用基本不等式求最值，根據取等號的條件得出a、b之值，即可得出直線l的方程．

解答：解：設直線方程為

x

a

+

y

b

=1（a＞0，b＞0）
∵P（1，4）在直線l上，
∴

1

a

+

4

b

=1，
由此可得直線l在兩條坐標軸上的截距的和滿足
a+b=（a+b）（

1

a

+

4

b

）=5+

b

a

+

4a

b

∵a＞0，b＞0，得

b

a

+

4a

b

≥2

b a • 4a b

=4
∴當且僅當

b

a

=

4a

b

=2時，即a=3且b=6時，
直線l在兩條坐標軸上的截距的和得最小值為5+4=9
此時直線方程為

x

3

+

y

6

=1，即2x+y-6=0
∴直線l的方程是2x+y-6=0．

點評：本題給出經過點P（1，4）且與兩坐標軸交于正半軸的直線l，求l在兩軸截距和最小時直線l的方程，著重考查了直線的基本量與基本形式和基本不等式等知識，屬于中檔題．