Question

已知拋物線，點，過的直線交拋物線于兩點.
（1）若線段中點的橫坐標等于，求直線的斜率；
（2）設點關于軸的對稱點為，求證：直線過定點.

Answer 1

（1）;（2）

試題分析：（1）因為點M在拋物線外面，所以過M與拋物線相交的直線斜率存在，用點斜式假設直線方程并聯立拋物線方程，消去y，即可得一個關于x的一元二次方程，由韋達定理及已知中點的橫坐標，即可求出斜率的值.
（2）由點A,B的橫坐標滿足（1）式中的一元二次方程，由韋達定理可得根與系數的等式，再寫出直線的方程，利用點差法將點A,B的坐標帶入拋物線方程.即可求出直線過定點，要做點是否存在的判定.
試題解析：（1）設過點的直線方程為，
由   得
因為 ，且，
所以，.
設，，則，.
因為線段中點的橫坐標等于，所以，
解得，符合題意.
（2）依題意，直線，
又 ，，
所以
因為 ， 且同號，所以，
所以 ，
所以，直線恒過定點.