Question

如圖，α⊥β，α∩β=l，A∈α，B∈β，點A在直線l上的射影為A₁，點B在l的射影為B₁，已知AB=2，AA₁=1，BB₁=

2

，求：
（Ⅰ）直線AB分別與平面α，β所成角的大小；
（Ⅱ）二面角A₁-AB-B₁的大小．

Answer 1

分析：（I）因為α⊥β，α∩β=l，A∈α，B∈β，點A在直線l上的射影為A₁，點B在l的射利用直線與平面所成角的定義找到該斜線在平面內(nèi)的射影即可以求解影為B₁，利用直線與平面所成角的定義找到該斜線在平面內(nèi)的射影即可以求解；
（II）因為BB₁⊥α，利用線面垂直的判定定理可以得到平面ABB₁⊥α，再利用三垂線定理根據(jù)二面角的定義求出二面角的平面角的平面角，在放到三角形中解出即可．

解答：解：（Ⅰ）如圖，連接A₁B，AB₁，∵α⊥β，α∩β=l，AA₁⊥l，BB₁⊥l，
∴AA₁⊥β，BB₁⊥α．則∠BAB₁，∠ABA₁分別是AB與α和β所成的角．
Rt△BB₁A中，BB₁=

2

，AB=2，
∴sin∠BAB₁=

BB1

AB

=

2

2

．
∴∠BAB₁=45°．
Rt△AA₁B中，AA₁=1，AB=2，sin∠ABA₁=

AA1

AB

=

1

2

，
∴∠ABA₁=30°．
故AB與平面α，β所成的角分別是45°，30°．
（Ⅱ）∵BB₁⊥α，∴平面ABB₁⊥α．
在平面α內(nèi)過A₁作A₁E⊥AB₁交AB₁于E，則A₁E⊥平面AB₁B．過E作EF⊥AB交AB于F，連接A1F，則由三垂線定理得A₁F⊥AB，
∴∠A₁FE就是所求二面角的平面角．
在Rt△ABB₁中，∠BAB₁=45°，
∴AB₁=B₁B=

2

．
∴Rt△AA₁B中，A₁B=

AB2-A A 2 1

=

4-1

=

3

．
由AA₁•A₁B=A₁F•AB得A₁F=

AA1•A1B

AB

=

1× 3

2

=

3

2

，
∴在Rt△A1EF中，sin∠A₁FE=

A1E

A1F

=

6

3

，
∴二面角A₁-AB-B₁的大小為arcsin

6

3

．

點評：（1）此問重點考查了學(xué)生的空間想象能力，還考查了學(xué)生對于面面垂直的性質(zhì)及線面角的概念的準確理解和靈活運用；
（2）此問重點考查了二面角的概念及利用三垂線定理求解二面角，還考查了求角時的反三角的表示方法．