Question

已知，a∈R．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的值域；
（3）設h（x）=2^-xf（x），a＞0時，對任意x₁，x₂∈[-1，1]總有成立，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）令t=log₂x，則x=2^t，
故f（t）=a（2^t）²-2•2^t+1-a．
∴f（x）=a（2^x）²-2•2^x+1-a，
（2）再設m=2^x，則m＞0，y=am²-2m+1-a，
①當a=0時，y=-2m+1（m＞0），在（0，+∞）上是減函數，其值域為（-∞，1）；
②當a＞0時，y=am²-2m+1-a的對稱軸m=＞0，
故其在（0，）上是減函數，在（，+∞）上是增函數．其值域為（-+1-a，+∞）；
③當a＜0時，y=am²-2m+1-a的對稱軸m=＜0，
故其在（0，+∞）上是減函數．其值域為（-∞，1-a）；
（3）∵h（x）=a•2^x+（1-a）2^-x-2，
∴h′（x）=aln2•2^x-（1-a）lna•2^-x，
由h′（x）=aln2•2^x-（1-a）lna•2^-x=0，得x₀=log₂（0＜a＜1）．
由x₀=log₂＞1得0＜a＜，由x₀=log₂＜-1，得a＞，
∵h（0）=-1，h（1）=（a-1），
由f（1）＞f（0），得（a-1）＞-1，得a＞．
①當0＜a≤時，h′（x）=aln2•2^x-（1-a）lna•2^-x＜0恒成立，函數h（x）在[-1，1]上是減函數，
∴函數h（x）在[-1，1]內的最大值是h（-1）=-a，最小值是h（1）=（a-1）．
∵對任意x₁，x₂∈[-1，1]總有成立，
∴-a-（a-1）≤，∴a≥2．不合，舍去．
②當＜a≤時，函數h（x）在[-1，x₀]上是減函數，在（x₀，1]上是增函數
∴函數h（x）在[-1，1]內的最大值是h（-1）=-a，最小值是h（x₀）=2-2．
∵對任意x₁，x₂∈[-1，1]總有成立，
∴-a-2+2≤，
∴≥a≥．
③當＜a≤時，函數h（x）在[-1，x₀]上是減函數，在（x₀，1]上是增函數
∴函數h（x）在[-1，1]內的最大值是h（1）=（a-1），最小值是h（x₀）=2-2．
∵對任意x₁，x₂∈[-1，1]總有成立，
∴（a-1）-2+2≤，
∴＜a≤．
④當a＞時，h′（x）=aln2•2^x-（1-a）lna•2^-x＞0恒成立，函數h（x）在[-1，1]上是增函數，
∴函數h（x）在[-1，1]內的最大值是h（1），最小值是h（-1）．
∵對任意x₁，x₂∈[-1，1]總有成立，
∴（a-1）+a≤，
∴a≤．不合，舍去．
綜上所述，a的取值范圍為[，]．
分析：（1）令t=log₂x，則x=2^t，故f（t）=a（2^t）²-2•2^t+1-a．從而得出f（x）的解析式；
（2）設m=2^x，則m＞0，y=am²-2m+1-a，下面對a進行分類討論：①當a=0時，②當a＞0時，③當a＜0時，分別求出其值域即可；
（3）函數h（x）=a•2^x+（1-a）2^-x-2對任意x₁，x₂∈[-1，1]，|h（x₁）-h（x₂）|≤恒成立，等價于h（x）在[-1，1]內滿足其最大值與最小值的差小于等于．
點評：本題考查函數的值域，考查滿足條件的實數的取值范圍的求法，考查分類討論的思想．解題的關鍵是要分析出|f（x₁）-f（x₂）|≤f（x）_max-f（x）_min．