Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，E、F分別為線段AB、D₁C的中點．
（I）求證：EF∥平面A₁D；
（II）求V的值．

Answer 1

證明：（Ⅰ）取DD₁的中點G，連結FG、AG，
依題意可知：GF是△CDD₁的中位線，
則 GF∥且GF=，
AE∥ 且AE=，
所以GF∥AE，且GF=AE，即四邊形AEFG為平行四邊形，…（3分）
則EF∥AG，又AG?平面AD₁，EF?平面AD₁，
所以EF∥平面AD₁．…（6分）
（Ⅱ）解：=×AE===．
===．
=1
∴V的值為1．…（12分）
分析：（Ⅰ）取DD₁的中點G，連結FG、AG，證明四邊形AEFG為平行四邊形，利用直線與平面平行的判定定理證明EF∥平面A₁D；
（II）通過體積公式直接求V的體積然后求解比值．
點評：本題考查直線與平面平行的判定定理的應用，幾何體是體積的求法，考查計算能力．