Question

已知圓C經過P(4，－2)，Q(－1，3)兩點，且在y軸上截得的線段長為4，半徑小于5．

(1)求直線PQ與圓C的方程；

(2)若直線l∥PQ，l與圓C交于點A、B，且以線段AB為直徑的圓經過坐標原點，求直線l的方程．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)直線PQ的斜率為，由直線PQ過點Q(－1，3)，所以直線PQ的方程為y－3＝－(x＋1)即x＋y－2＝0　　1分 　　因為圓C經過P、Q兩點，故其圓心C在線段PQ的中垂線l1上，線段PQ的中點N的坐標為()，而kl1＝1，故直線l2的方程為　　2分 　　故可設圓心C的坐標為(m，m－1)，并設其半徑為　　3分 根據題意，圓C在Y軸上截得的線段為4．故有r2＝(2)2＋m|2　②　　4分 　　由①②得：． 　　當 　　 　　所以所求圓的方程為　　6分 　　(2)因為直線l∥PQ，所以設直線l的方程為x＋y＋n＝0　　7分 　　將直線l的方程和圓C的方程聯立得， 　　消去　　8分 　　設，則由根與系數的關系可得：　③　　9分 　　因為以線段AB為直徑的圓經過坐標原點，所以OA⊥OB，故有x1x2＋y1y2＝0　　10分 　　即． 　　將③式代入上式并整理得：　　11分 　　經檢驗知，均符合題意，所以直線l的方程為　　12分