Question

【題目】已知數列的前n項和為且．數列為非負的等比數列，且滿足，．

（Ⅰ）求數列，的通項公式；

（Ⅱ）若數列的前n項和為，求數列的前n項和．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）．．（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）由已知,及,,可求得,利用,,化簡可得,即可證得數列為等差數列,根據公式即可求得的通項公式,由數列為非負的等比數列,根據已知求得,,根據等比數列的通項公式即可得解.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得,即可知,設,,利用錯位相減法即可求得,根據分組求和即可得解.

解：（Ⅰ）當時，，

又因為，，所以，

，

則當時，，

兩式相減并化簡得，

所以數列是首項為1，公差為2的等差數列，

所以．

因為，所以，

因為，，，所以，

所以，又，所以，

所以．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，

所以，

設，

所以，

兩式相減得，

設，

所以．