Question

已知橢圓的中心為坐標原點O，焦點在x軸上，斜率為1且過橢圓右焦點F的直線交橢圓于A、B兩點，與＝（3，－1）共線．
（1）求橢圓的離心率；
（2）設M為橢圓上任意一點，且（），證明為定值．

Answer 1

（1）；（2）

試題分析：（1）設橢圓方程為，直線AB：y=x－c，
聯立消去y可得：，
令A()，B ()，
則，，
向量=(，), 與向量＝（3，－1）共線，
所以3（）+（）=0，
即3（－2c）+（）=0，
4（）－6c=0，
化簡得：，
所以離心率為=。
（2）橢圓即： ①
設向量=(x，y)，=()，=()
(x，y)=λ()+μ()
即：x=，y= 
M在橢圓上，把坐標代入橢圓方程① 得 ②
直線AB的方程與橢圓方程聯立得，由（1）
已證，所以
所以=，=，
而A，B在橢圓上 ， 
全部代入②整理可得 為定值。
點評：典型題，涉及直線與橢圓的位置關系問題，通過聯立方程組得到一元二次方程，應用韋達定理可實現整體代換，簡化解題過程。