Question

已知定義在R上的函數f（x）滿足（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0，若c＜b＜a，f（a）f（b）f（c）＜0，則實數d是函數f（x）的一個零點，給出下列判斷：
①d＜c②c＜d＜b③b＜d＜a④d＞a
其中可能成立的個數為（　�。�

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：由（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0，可判斷f（x）的單調性，從而可知f（a），f（b），f（c）的大小關系，由f（a）f（b）f（c）＜0可判斷f（a），f（b），f（c）的符號情況，由零點存在定理分情況討論即可得到答案．

解答：解：由（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0，知f（x）在R上單調遞減，
又c＜b＜a，所以f（c）＞f（b）＞f（a），
因為f（a）f（b）f（c）＜0，所以有f（a）＜0，0＜f（b）＜f（c）（1），或f（a）＜f（b）＜f（c）＜0（2），
由零點存在定理知：當滿足（1）時，b＜d＜a；當滿足（2）時，d＜c，
故可能成立的命題為：①③，
故選B．

點評：本題考查抽象函數的單調性、零點存在定理，考查學生分析解決問題的能力，屬中檔題．