Question

設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函數f（x）=+log₂圖象上任意兩點，且=（+），已知點M的橫坐標為，且有S_n=f（）+f（）+…+f（），其中n∈N^*且n≥2，
（1）求點M的縱坐標值；
（2）求s₂，s₃，s₄及S_n；
（3）已知，其中n∈N^*，且T_n為數列{a_n}的前n項和，若T_n≤λ（S_n+1+1）對一切n∈N^*都成立，試求λ的最小正整數值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由=（+）知M為線段AB的中點，由M的橫坐標為得x₁+x₂=1，由此可求得y₁+y₂，從而可得點M的縱坐標；
（2）根據S_n=f（）+f（）+…+f（），分別令n=2，3，4即可求得s₂，s₃，s₄；由（1）知，由，得f（）+f（）=1，從而可求得2S_n；
（3）先表示出a_n，利用裂項相消法求得T_n，分離出參數λ后轉化為求函數的最值可解決，利用基本不等式可得最值；
解答：解：（1）依題意，由=（+）知M為線段AB的中點，
又因為M的橫坐標為，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴=，即x₁+x₂=1，
∴=1+log₂1=1，
所以=，
即點M的橫坐標為定值；
（2）=，
=+=1，
=++=，
由（1）知，由，得f（）+f（）=1，
又S_n=f（）+f（）+…+f（）=f（）+f（）+…+f（），
所以2S_n=（n-1）×1，即S_n=（n∈N^*且n≥2）；
（3）當n≥2時，=，
又n=1時，也適合，
所以，
∴=4（）
=4（）=（n∈N*），
由≤λ恒成立（n∈N*）推得λ≥，
而==（當且僅當n=2取等號），
∴，∴λ的最小正整數為1．
點評：本題考查數列與不等式、數列與向量的綜合，考查恒成立問題，考查轉化思想，綜合性強，難度較大．