Question

若函數f（x）為定義域D上單調函數，且存在區間[a，b]⊆D（其中a＜b），使得當x∈[a，b]時，f（x）的取值范圍恰為[a，b]，則稱函數f（x）是D上的正函數，區間[a，b]叫做等域區間．
（1）已知是[0，+∞）上的正函數，求f（x）的等域區間；
（2）試探究是否存在實數m，使得函數g（x）=x²+m是（-∞，0）上的正函數？若存在，請求出實數m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為是[0，+∞）上的正函數，然后根據正函數的定義建立方程組，解之可求出f（x）的等域區間；
（2）根據函數g（x）=x²+m是（-∞，0）上的正函數建立方程組，消去b，求出a的取值范圍，轉化成關于a的方程a²+a+m+1=0在區間內有實數解進行求解．
解答：解：（1）因為是[0，+∞）上的正函數，
且在[0，+∞）上單調遞增，
所以當x∈[a，b]時，

即
解得a=0，b=1，
故函數f（x）的“等域區間”為[0，1]；
（2）因為函數g（x）=x²+m是（-∞，0）上的正函數，
所以當x∈[a，b]時，

即
兩式相減得a²-b²=b-a，
即b=-（a+1），
代入a²+m=b得a²+a+m+1=0，
由a＜b＜0，
且b=-（a+1）
得，
故關于a的方程a²+a+m+1=0在區間內有實數解，
記h（a）=a²+a+m+1，
則
解得．
點評：本題主要考查了新的定義，以及函數的值域，同時考查了等價轉化的數學思想，屬于中檔題．