Question

（2012•臨沂二模）設圓x²+y²=2的切線l與軸的正半軸、軸的正半軸分別交于點A、B，當|AB|取最小值時，切線l的方程為

2x+2y-1=0

．

Answer 1

分析：根據圓的切線與x軸，y軸交點分別為A和B，設出兩點的坐標，進而得出切線的截距式方程，且根據勾股定理表示出|AB|，由直線與圓相切，得到圓心到直線的距離等于圓的半徑，利用點到直線的距離公式表示出圓心到所設切線的距離d，使d等于圓的半徑r，化簡可得a與b的關系式，利用此關系式把|AB|²進行變形，利用基本不等式求出|AB|²的最小值，且得到取最小值時a與b的值，把此時a與b的值代入所設的方程中，即可確定出切線的方程．

解答：解：設A（a，0），B（0，b），a＞0，b＞0，則切線的方程為

x

a

+

y

b

=1，|AB|=

a2+b 2

．
又圓x²+y²=2的圓心坐標為（0，0），半徑r=

2

，由圓心到直線的距離d=

|0+0-1|

( 1 a )2+ ( 1 b ) 2

=r=

2

，
∴(

1

a

)2+(

1

b

)2=

1

2

．
則|AB|²=（a²+b²）2[(

1

a

)2+(

1

b

)2]=2 （1+

a2

b2

+

b2

a2

+1）≥2（2+2）=8，當且僅當a=b=

1

2

時，等號成立．
故當|AB|取最小值時，切線l的方程為

x

1 2

+

y

1 2

=1，即 2x+2y-1=0，
故答案為 2x+2y-1=0．

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，涉及的知識有：直線的截距式方程，點到直線的距離公式，以及基本不等式，當直線與圓相切時，圓心到切線的距離等于圓的半徑，熟練掌握這一性質是解本題的關鍵．