Question

在等邊三角形ABC中，M、N、P分別為AB、AC、BC的中點，沿MN將△AMN折起，使得面AMN與面MNCB所在二面角的余弦值為

1

3

，則直線AM與NP所成角的大小為（　　）

• A、90°
• B、60°
• C、arccos

  1

  3

• D、arccos

  3

  3

Answer 1

分析：根據翻折問題遵循的原則：翻折前后在同一個面上的位置關系及度量關系不變，求出各條線段的長及兩面所成的角，將兩條異面直線賦予向量意義，選出三個向量作為基底，將異面直線對應的向量用基底表示，求出這兩個向量的數量積，根據向量垂直的充要條件求出兩條異面直所成的角．

解答：解：設等邊三角形ABC的邊長為1，ME=

1

2

MN=

1

4

BC=

1

4

AE=EP=

1

2

AP=

3

4

且AE⊥MN，PE⊥MN
∴∠AEP為面AMN與面MNCB所在二面角的平面角
∴cos∠AEP=

1

3

∵

MA

=

ME

+

EA

，

NP

= 

EP

 -

EN

=

EP

-

ME

∴

MA

•

NP

=( 

ME

+

EA

)•( 

EP

-

ME

)
=

ME

•

EP

+

EA

•

EP

-

ME

2-

EA

•

ME

=

EA

•

EP

-

ME

2
=|

EA|

|

EP

|cos∠AEP-

1

16

=

1

16

-

1

16

=0
∴

MA

⊥

NP

∴直線AM與NP所成角為90°
故選A

點評：求兩條異面直線所成的角常借助的工具是向量，利用向量的數量積求出對應向量所成的角，再根據向量所成的角與異面直線所成角的關系求出；解決翻折問題應該先根據翻折問題遵循的原則：翻折前后在同一個面上的位置關系及度量關系不變找出空間圖形的已知條件．