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(2013•南京二模)已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)都為正數(shù),且對(duì)任意n∈N*,都有
a
2
n+1
=anan+2+k
(k為常數(shù)).
(1)若k=(a2-a1)2,求證:a1,a2,a3成等差數(shù)列;
(2)若k=0,且a2,a4,a5成等差數(shù)列,求
a2
a1
的值;
(3)已知a1=a,a2=b(a,b為常數(shù)),是否存在常數(shù)λ,使得an+an+2=λan+1對(duì)任意n∈N*都成立?若存在.求出λ;若不存在,說(shuō)明理由.
分析:(1)把k=(a2-a1)2,代入
a
2
n+1
=anan+2+k
,令n=1化簡(jiǎn)即可證明;
(2)當(dāng)k=0時(shí),
a
2
n+1
=anan+2
,由于數(shù)列{an}的各項(xiàng)都為正數(shù),可得數(shù)列{an}是等比數(shù)列,設(shè)公比為q>0,根據(jù)a2,a4,a5成等差數(shù)列,可得a2+a5=2a4,即a1q+a1q4=2a1q3,解出即可;
(3)存在常數(shù)λ=
a2+b2-k
ab
,使得an+an+2=λan+1對(duì)任意n∈N*都成立.由
a
2
n+1
=anan+2+k
,及
a
2
n
=an-1an+1+k(n≥2,n∈N*)
,可得
a
2
n+1
+an-1an+1=anan+2+
a
2
n
,由于an>0,兩邊同除以anan+1,得到
an+1+an-1
an
=
an+an+2
an+1
,進(jìn)而
an+an+2
an+1
=
an-1+an+1
an
=…=
a1+a3
a2
,即當(dāng)n∈N*時(shí),都有an+an+2=
a1+a3
a2
an+1
,再利用已知求出a1,a2,a3即可證明.
解答:(1)證明:∵k=(a2-a1)2
a
2
n+1
=anan+2+(a2-a1)2

令n=1,則
a
2
2
=a1a3+(a2-a1)2

∵a1>0,∴2a2=a1+a3
故a1,a2,a3成等差數(shù)列;
(2)當(dāng)k=0時(shí),
a
2
n+1
=anan+2

∵數(shù)列{an}的各項(xiàng)都為正數(shù),
∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列,設(shè)公比為q>0,
∵a2,a4,a5成等差數(shù)列,
∴a2+a5=2a4,∴a1q+a1q4=2a1q3
∵a1>0,q>0,
∴q3-2q2+1=0,
化為(q-1)(q2-q-1)=0,解得q=1或q=
1+
5
2

a2
a1
═q=1
1+
5
2

(3)存在常數(shù)λ=
a2+b2-k
ab
,使得an+an+2=λan+1對(duì)任意n∈N*都成立.
證明如下:∵
a
2
n+1
=anan+2+k
,∴
a
2
n
=an-1an+1+k(n≥2,n∈N*)

a
2
n+1
-
a
2
n
=anan+2-an-1an+1
,即
a
2
n+1
+an-1an+1=anan+2+
a
2
n

由于an>0,兩邊同除以anan+1,得到
an+1+an-1
an
=
an+an+2
an+1

an+an+2
an+1
=
an-1+an+1
an
=…=
a1+a3
a2

即當(dāng)n∈N*時(shí),都有an+an+2=
a1+a3
a2
an+1

∵a1=a,a2=b,
a
2
n+1
=anan+2+k

∴a3=
b2-k
a
.∴
a1+a3
a2
=
a+
b2-k
a
b
=
a2+b2-k
ab

∴存在常數(shù)λ=
a2+b2-k
ab
,使得an+an+2=λan+1對(duì)任意n∈N*都成立.
點(diǎn)評(píng):本題綜合考查了等比數(shù)列與等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式,靈活的變形推理能力和計(jì)算能力.
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