Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c，滿足f（0）=f（1）=0，且f（x）的最小值是-．
（1）求f（x）的解析式；
（2）設直線l：y=t²-t（其中0＜t＜，t為常數），若直線l與f（x）的圖象以及y軸所圍成封閉圖形的面積是S₁（t），直線l與f（x）的圖象所圍成封閉圖形的面積是S₂（t），設g（t）=S₁（t）+S₂（t），當g（t）取最小值時，求t的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由“f（0）=f（1）=0”結合二次函數圖象的對稱性，設f（x）=a（x-）²-，再代點求解．
（2）要建立g（t）的模型，由于是曲線所圍成的圖象，所以用定積分求解，設直線l與f（x）的圖象的交點坐標為
（t，t²-t），再由定積分的幾何意義S₁（t）=∫^t[（x²-x）-（t²-t）]dx，S₂（t）=[（t²-t）-（x²-x）]dx，再求和建立g（t）模型求其最值．
解答：解：（1）由二次函數圖象的對稱性，
可設f（x）=a（x-）²-，
又f（0）=0，∴a=1，故f（x）=x²-x．
（2）據題意，直線l與f（x）的圖象的交點坐標為（t，t²-t），由定積分的幾何意義知：
g（t）=S₁（t）+S₂（t）
=∫^t[（x²-x）-（t²-t）]dx+[（t²-t）-（x²-x）]dx
=[（-）-（t²-t）x]|^t+[（t²-t）x-（-）]
=-t³+t²-t+．

而g′（t）=-4t²+3t-=-（8t²-6t+1）=-（4t-1）（2t-1）．
令g′（t）=0⇒t=或t=（不合題意，舍去）．
當t∈（0，）時，g′（t）＜0，g（t）遞減；
當t∈（，）時，g′（t）＞0，g（t）遞增；
故當t=時，g（t）有最小值．
點評：本題主要考查二次函數解析式和其圖象的應用，這里涉及了曲線所圍成的面積，要用定積分解決．