Question

已知函數，其中e為自然對數的底數
（I）若函數g（x）在點（1，g（1））處的切線與直線2x-y+1=0垂直，求實數a的值；
（II）若f（x）在[-1，1]上是單調增函數，求實數a的取值范圍；
（III）當a=0時，求整數k的所有值，使方程f（x）=x+2在[k，k+1]上有解．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據求導公式和法則求出函數的導數，再求出切線的斜率，由導數的幾何意義列出方程求出a的值；
（II）求出導函數后，將條件轉化為“f′（x）=[ax²+（2a+1）x+1]e^x≥0在[-1，1]上恒成立”，再進一步轉化后構造g（x）=ax²+（2a+1）x+1，再分類討論：a=0時和a≠0時，分別根據△=（2a+1）²-4a=4a²+1＞0和特值g（0）=1＞0，列出等價條件求出a的取值范圍；
（III）根據條件將原方程等價于“=0”，再構造函數h（x）=，求導函數再確定h（x）在（-∞，0）和（0，+∞）內的單調性，再由特殊的函數值確定方程f（x）=x+2有且只有兩個實數根的區間，故可得k的值．
解答：解：（I）由題意得，g′（x）=ax²+x，
∵在點（1，g（1））處的切線與直線2x-y+1=0垂直，
∴在點（1，g（1））處的切線斜率為，即g′（1）=a+1=，
解得a=，
（II）由（I）得，f（x）=g′（x）e^x=（ax²+x）e^x，
則f′（x）=（2ax+1）e^x+（ax²+x）e^x=[ax²+（2a+1）x+1]e^x，
∵f（x）在[-1，1]上是單調增函數，
∴f′（x）=[ax²+（2a+1）x+1]e^x≥0在[-1，1]上恒成立，
即ax²+（2a+1）x+1≥0在[-1，1]上恒成立，
①當a=0時，f′（x）=（x+1）e^x，f′（x）≥0在[-1，1]上恒成立，
當且僅當x=-1時取等號，故a=0符合要求；（6分）
②當a≠0時，令g（x）=ax²+（2a+1）x+1，
因為△=（2a+1）²-4a=4a²+1＞0，所以g（x）=0有兩個不相等的實數根x₁，x₂，不妨設x₁＞x₂，
因此f（x）有極大值又有極小值．
若a＞0，因為g（-1）•g（0）=-a＜0，所以f（x）在（-1，1）內有極值點，故f（x）在[-1，1]上不單調．
若a＜0，可知x₁＞0＞x₂，因為g（x）的圖象開口向下，要使f（x）在[-1，1]上單調，
因為g（0）=1＞0，必須滿足，即，得，
綜上可知，a的取值范圍是[，0]，
（III）當a=0時，方程即為xe^x=x+2，由于e^x＞0，所以x=0不是方程的解，
所以原方程等價于=0，令h（x）=，
因為h′（x）=＞0對于x∈（-∞，0）∪（0，+∞）恒成立，
所以h（x）在（-∞，0）和（0，+∞）內是單調增函數，（13分）
又h（1）=e-3＜0，h（2）=e²-2＞0，h（-3）=＜0，h（-2）=e^-2＞0，
所以方程f（x）=x+2有且只有兩個實數根，且分別在區間[1，2]和[-3，-2]上，
所以整數k的所有值為{-3，1}．
點評：本題考查了導數的幾何意義，導數與函數的單調性關系，以及證明不等式轉化為恒成立問題等，考查了分類討論思想、轉化思想和構造函數方法．