Question

【題目】對定義在[0，1]上的函數f（x），如果同時滿足以下三個條件：

①對任意x∈[0，1]，總有f（x）≥0；

②f（1）=1；

③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．

則稱函數f（x）為理想函數．

（1）判斷g（x）=2x﹣1（x∈[0，1]）是否為理想函數，并說明理由；

（2）若f（x）為理想函數，求f（x）的最小值和最大值；

（3）若f（x）為理想函數，假設存在x0∈[0，1]滿足f[f（x0）]=x0，求證：f（x0）=x0．

Answer 1

【答案】（1）是；（2）f（x）取得最小值2，f（x）取得最大值3；（3）見解析．

【解析】

（1）①顯然f（x）=2x﹣1在[0，1]上滿足f（x）≥0；②f（1）=1．

若x1≥0，x2≥0，且x1+x2≤1，

則有f（x1+x2）﹣[f（x1）+f（x2）]=2x1+x2﹣1﹣[（2x1﹣1）+（2x2﹣1）]=（2x2﹣1）（2x1﹣1）≥0

故f（x）=2x﹣1滿足條件①②③，所以f（x）=2x﹣1為理想函數，

（2）設x1，x2∈[0，1]，x1＜x2，則x2﹣x1∈（0，1]

∴f（x2）=f[（x2﹣x1）+x1]≥f（x2﹣x1）+f（x1）﹣2

∴f（x2）﹣f（x1）≥f （x2﹣x1）﹣2≥0，

∴f（x1）≤f（x2），則當0≤x≤1時，f（0）≤f（x）≤f（1），

在③中，令x1=x2=0，得f（0）≤2，由②得f（0）≥2，

∴f（0）=2，當x=1時，f（1）=3，

∴當x=0時，f（x）取得最小值2，

當x=1時，f（x）取得最大值3，

（3）由條件③知，任給m、n∈[0，1]，當m＜n時，由m＜n知n﹣m∈[0，1]，

∴f（n）=f（n﹣m+m）≥f（n﹣m）+f（m）≥f（m）．

若f（x0）＞x0，則f（x0）≤f[f（x0）]=x0，前后矛盾；

若：f（x0）＜x0，則f（x0）≥f[f（x0）]=x0，前后矛盾．

故f（x0）=x0．