Question

設是橢圓上的兩點，點是線段的中點，線段的垂直平分線與橢圓相交于兩點.

（1）       確定的取值范圍，并求直線的方程；

（2）       試判斷是否存在這樣的，使得四點在同一個圓上？并說明理由.

Answer 1

（1）解法一：設直線的方程為，代入     

整理得      ①

設，，② 且

由是線段的中點，得，解得，代入②得

所以直線的方程為，即                      （5分）

解法二：設，（點差）則有，因為是線段的中點，

又在橢圓內部，，即，所以直線的方程為，即

（2）解法一：因為垂直平分，所以直線的方程為，即，代入橢圓方程，整理得

設，的中點，且，即，由弦長公式得③，將直線的方程代入橢圓方程得④，同理可得⑤                                                      （9分）

因為當時，，所以

假設存在，使四點共圓，則必為圓的直徑，點為圓心。點到直線的距離⑥，

于是，

故當時，在以為圓心，為半徑的圓上             （12分）