Question

設(shè)是橢圓上的兩點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，線段的垂直平分線與橢圓相交于兩點(diǎn).

（1）       確定實(shí)數(shù)的取值范圍，并求直線的方程；

（2）       試判斷是否存在這樣的，使得四點(diǎn)在同一個(gè)圓上？并說明理由.

Answer 1

（1）解法一：設(shè)直線的方程為，代入     

整理得      ①

設(shè)，，② 且

由是線段的中點(diǎn)，得，解得，代入②得

所以直線的方程為，即                 （5分）

解法二：設(shè)，（點(diǎn)差）則有，因?yàn)?sub>是線段的中點(diǎn)，

又在橢圓內(nèi)部，，即，所以直線的方程為，即

（2）解法一：因?yàn)?sub>垂直平分，所以直線的方程為，即，代入橢圓方程，整理得

設(shè)，的中點(diǎn)，且，即，由弦長公式得③，將直線的方程代入橢圓方程得④，同理可得⑤              （9分）

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以

假設(shè)存在，使四點(diǎn)共圓，則必為圓的直徑，點(diǎn)為圓心。點(diǎn)到直線的距離⑥，

于是，

故當(dāng)時(shí)，在以為圓心，為半徑的圓上            （12分）