Question

已知f（x）是定義在R上的不恒為零的函數，且對于任意非零的實數a，b∈R，滿足f（ab）=

f(b)

a

+

f(a)

b

，f(2)=

1

2

，an=

f(2n)

n

（n∈N^*），bn=2n•f(2n)（n∈N^*）．考查下列結論：①f（-1）=f（1）；②f（x）為偶函數；③數列{a_n}為等比數列；④{b_n}為等差數列．其中正確的是（　�。�

A．①②③

B．①③④

C．③④

D．①④

Answer 1

分析：①利用賦值法證明f（-1）=f（1）；②根據函數奇偶性的定義證明；③根據等比數列的定義進行判斷；④根據等差數列的定義進行判斷．

解答：解：①令a=b=1，則f（1）=

f(1)

1

+

f(1)

1

=2f(1)，∴f（1）=0，
令a=-1，b=-1，得f（1）=

f(-1)

-1

+

f(-1)

-1

=-2f(-1)=0，∴f（-1）=0，即f（-1）=f（1）成立，∴①正確．
②令a=-1，b=-2，則f（2）=f（-1×（-2））=

f(-2)

-1

+

f(-1)

-2

=-f(-2)，
即f（-2）=-f（2）=-

1

2

，∴不滿足f（-x）=f（x），∴f（x）不是偶函數，∴②錯誤．
③∵f（ab）=

f(b)

a

+

f(a)

b

，f(2)=

1

2

，
∴f（2ⁿ）=f（2•2_n-1）=

f(2n-1)

2

+

f(2)

2n-1

=

f(2n-1)

2

+

1

2n

=…=

n

2n

，
∴an=

f(2n)

n

=

1

2n

，∴

an

an-1

=

1

2

，
即數列{a_n}為等比數列，∴③正確．
④bn=2n•

n

2n

=n，∴{b_n}為等差數列，∴④正確．
故正確的是①③④．
故選：B．

點評：本題主要考查與數列有關的信息題，正確理解條件的意義，是解決本題的關鍵，綜合性較強，難度較大．