Question

F為橢圓

x2

5

+y2=1的右焦點，第一象限內的點M在橢圓上，若MF⊥x軸，直線MN與圓x²+y²=1相切于第四象限內的點N，則|NF|等于（　�。�

• A．

  21

  3

• B．

  4

  5

• C．

  21

  4

• D．

  3

  5

Answer 1

分析：根據橢圓的性質，可求出F點坐標，進而結合已知中MF⊥x軸，求出M點坐標，根據直線MN與圓相切求出點N的坐標后，代入兩點之間距離公式，可得答案．

解答：解：∵F為橢圓

x2

5

+y2=1的右焦點，
∴F點的坐標為（2，0）
∵MF⊥x軸，M在橢圓上且在第一象限
∴M點的坐標為（2，

5

5

）
設直線MN的斜率為k（k＞0）
則直線MN的方程為y-

5

5

=k（x-2）
即kx-y-2k+

5

5

=0
∵直線MN與圓x²+y²=1相切
∴原點（圓心）到直線MN的距離等于半徑1，
即

|-2k+ 5 5 |

1+k2

=1
解得k=

2 5

5

，或k=-

2 5

15

（舍去）
∴直線MN的方程為

2 5

5

x-y-

3 5

5

=0…①
聯立圓方程x²+y²=1可得
N點坐標為（

2

3

，

5

3

）
∴|NF|=

(2- 2 3 )2+( 5 3 )2

=

21

3

故選A

點評：本題考查的知識點是橢圓的簡單性質，直線與圓的位置關系，兩點之間的距離，其中求出N點坐標是解答的關鍵．