Question

已知F₁，F₂是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右兩個焦點，點P在雙曲線右支上，O為坐標原點，若△POF₂是面積為1的正三角形，則b的值是

2

．

Answer 1

分析：利用雙曲線的性質、正三角形的性質和面積公式即可得出．

解答：解：由△POF₂是面積為1的正三角形，∴1=

3

4

c2，解得c2=

4

3

．
又線段OF₂的中點M的橫坐標為

c

2

=

1

4 3

，即為點P的橫坐標，代入雙曲線的方程得

c2

4a2

-

y2

b2

=1，即

1

3 a2

-

y2

b2

=1．解得y²=

b2(1- 3 a2)

3 a2

．
又△POF₂是正三角形，∴

b2(1- 3 a2)

3 a2

=(

3

2

c)2=

3

，
又a2+b2=

4

3

．聯立解得b=

2

．
故答案為

2

．

點評：熟練掌握雙曲線的性質、正三角形的性質和面積公式是解題的關鍵．