Question

【題目】如圖，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱臺形玻璃容器Ⅱ的高均為32cm，容器Ⅰ的底面對角線AC的長為10cm，容器Ⅱ的兩底面對角線，的長分別為14cm和62cm．分別在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均為12cm．現有一根玻璃棒l，其長度為40cm．（容器厚度、玻璃棒粗細均忽略不計）

（1）將放在容器Ⅰ中，的一端置于點A處，另一端置于側棱上，求沒入水中部分的長度；

（2）將放在容器Ⅱ中，的一端置于點E處，另一端置于側棱上，求沒入水中部分的長度．

Answer 1

【答案】（1）16；（2）20．

【解析】【思路分析】（1）轉化為直角三角形ACM中，利用相似性質求解AP1；（2）轉化到三角形EGN中，先利用直角梯形性質求角，再利用正弦定理求角，最后根據直角三角形求高，即為沒入水中部分的長度．

（1）由正棱柱的定義，平面，所以平面平面，．

記玻璃棒的另一端落在上點處．

因為，所以，從而，

如圖，與水面的交點為，過作P1Q1⊥AC，Q1為垂足，

則P1Q1⊥平面ABCD，故P1Q1=12，從而AP1=．

答：玻璃棒l沒入水中部分的長度為16cm．（5分）

(如果將“沒入水中部分”理解為“水面以上部分”，則結果為24cm)

（2）如圖，O，O1是正棱臺的兩底面中心．

由正棱臺的定義，OO1⊥平面EFGH，所以平面E1EGG1⊥平面EFGH，O1O⊥EG．

同理，平面E1EGG1⊥平面E1F1G1H1，O1O⊥E1G1．

記玻璃棒的另一端落在GG1上點N處．

過G作GK⊥E1G1，K為垂足，則GK =OO1=32．

因為EG = 14，E1G1= 62，

所以KG1=，從而．

設則．

因為，所以．

在中，由正弦定理可得，解得．

因為，所以．

于是．

記EN與水面的交點為P2，過P2作P2Q2⊥EG，Q2為垂足，則P2Q2⊥平面EFGH，

故P2Q2=12，從而EP2=．

答：玻璃棒l沒入水中部分的長度為20cm．（10分）

(如果將“沒入水中部分”理解為“水面以上部分”，則結果為20cm)