Question

若定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=f（x），且當x∈[0，1]時，f（x）=2^x-1，則函數(shù)y=f（x）-lg|x|的零點個數(shù)是（　　）

A．9

B．10

C．18

D．20

Answer 1

分析：分別作出函數(shù)y=f（x），y=lg|x-1|的圖象，結合函數(shù)的對稱性，利用數(shù)形結合法進行求解．

解答：解：當x∈[0，1]時，f（x）=2^x-1，
函數(shù)y=f（x）的周期為2，
x∈[-1，0]時，f（x）=2^-x-1，
可作出偶函數(shù)f（x）的圖象．
對于圖象關于y軸對稱的偶函數(shù)y=lg|x|．
函數(shù)y=g（x）的零點，
即為函數(shù)圖象交點橫坐標，
當x＞10時，y=lg|x|＞1，
此時函數(shù)圖象無交點，
如圖：又兩函數(shù)在x＞0上有9個交點，由f（x）和g（x）的圖象都關于y軸對稱，
可知它們在x＜0上也有9個交點，且這些交點關于直線y軸對稱，
可得函數(shù)g（x）=f（x）-lg|x|的零點個數(shù)為18，
故選 C．

點評：本題主要考查了周期函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象，數(shù)形結合是高考中常用的方法，考查數(shù)形結合，本題屬于中檔題．