Question

已知△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，AD⊥BC，D為垂足，以AD為折痕，將△ABD和△ACD折成互相垂直的兩個平面后，如圖所示，有下列結論：①BD⊥CD；②BD⊥AC；③AD⊥面BCD；④△ABC是等邊三角形；其中正確的結論的個數為（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：根據在折疊后，AD與BD、CD的垂直性不變來判斷AD與平面BCD的垂直，判斷③是否正確；
利用題設條件△ABD和△ACD折成互相垂直的兩個平面，來判斷BD與CD的垂直關系，從而判斷①的正確性；
利用三垂線定理，判斷BD與AC的垂直關系，判斷②是否正確；
再根據得到的垂直關系，計算△ABC的各邊長，來判斷△的形狀，從而判斷④是否正確

解答：解：∵將△ABD和△ACD折成互相垂直的兩個平面，∵AD⊥BD，AD⊥CD，∴∠SDC為二面角B-AD-C的平面角，∴BD⊥CD，①正確；
∵AD⊥BD，AD⊥CD，∴AD⊥平面BCD，CD是AC在平面BCD內的射影，由三垂線定理得BD⊥AC，∴②③正確；
∵D是中點，∴AD=BD=CD，設AD=1，由①得AC=AB=BC=

2

，故④正確．
故選D

點評：本題借助平面圖形的折疊問題，考查空間直線與直線、直線與平面的垂直關系．常用平面幾何知識、三垂線定理、線面垂直的性質、及線線的平行性質判定線線垂直．