Question

【題目】已知函數．

（1）求函數的值域；

（2）若為奇函數，求實數的值；

（3）若關于的方程在區間上無解，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）由，結合不等式的基本性質可求出函數的值域；

（2）由求出，再利用奇函數的定義證明函數為奇函數；

（3）由（2）知函數為奇函數，且為增函數，由可得出，可得出方程在上無解，構造函數，分、、三種情況討論，結合二次函數的性質列出關于的不等式（組）求解.

（1），，則，因此，函數的值域為；

（2）為奇函數，且定義域為，

則，解得，此時，，

則，

所以，函數為奇函數；

（3）由（2）知，函數為奇函數，

由，可得，

即，

由于函數在上為增函數，

，即，

由題意可知，方程在上無解.

構造函數，該二次函數圖象開口向上，對稱軸為直線.

①當時，即當時，則函數在區間上單調遞增，

所以，，即，解得或，此時；

②當時，即當時，由于，

則，解得，此時；

③當時，即當時，則函數在區間上單調遞減，

所以，，即，解得或，此時.

綜上所述，實數的取值范圍是.